\documentclass[11pt]{article} \usepackage{amsthm,amsfonts} \usepackage[french]{babel} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{pslatex} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù \input{wims.sty} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\wimsinclude{persowims.sty}%pour inclure des fichiers non lus par latex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \theoremstyle{plain} \newtheorem{thm}{Théorème}[section] \newtheorem{theo}[thm]{Théorème} \newtheorem{prop}[thm]{Proposition} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %choix du serveur pour les liens dans le pdf \def\exercise#1#2{\href{https://wims.auto.u-psud.fr/wims/wims.cgi?#1&cmd=new}{Exercice WIMS. #2}} %%%%%%%%% option wims %\wimsoption{depth=2} % profondeur des sections et co de style link %\wimsoption{toc_up} %configuration des tables de matières %\wimsoption{toc_down,toc_right,toc_left} %configuration des tables de matières %%%%%%%%%%%%%%%%% \theoremstyle{definition} \newtheorem{defn}{Définition}[section] \newtheorem{ex}{Exemple} \newtheorem{exo}{Exercice} \newtheorem{rem}{Remarque} \newtheorem{enonce}{Enoncé} \newtheorem{sol}{Solution} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\RR{\mathbb{R}} \def\NN{\mathbb{N}} \def\ZZ{\mathbb{Z}} \def\CC{\mathbb{C}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} %% indispensable \title{Ensemble de définition d'une fonction} \author{Marie-Claude David} \email{mcld@math.u-psud.fr} %\wimsentre{section} Voici quelques exemples d'ensemble de définition, notion qui est évoquée dans le programme de seconde. \section[Définition]{Ensemble de définition d'une fonction : définition} \begin{defn} L'ensemble des nombres réels possédant une image par une fonction \(f\) est appelé \textbf{ensemble de définition de la fonction \(f\)}. De façon formelle, soit \(f\) une fonction à valeurs réelles, l'ensemble de définition de \(f\) est l'ensemble des réels \(x\) pour lesquels l'image \(f(x)\) existe ou pour lesquels \(f(x)\) a un sens. \end{defn} L'ensemble de définition d'une fonction \(f\) est souvent noté \(D f\). \begin{ex} Soit \(f\) la fonction de la variable réelle \(x\) définie par \(f(x)=2x+1\). Son ensemble de définition est \(\RR\). \end{ex} \begin{ex} Un melon coûte \(2\) euros pièce. On désigne par \(p\) la fonction qui associe à un nombre \(x\) le prix \(p(x)\) de \(x\) melons. L'ensemble de définition de \(p\) est \(\NN\) car on ne vend ici que des melons entiers et la formule pour la fonction \(p\) est \(p(x)=2x\). \end{ex} Découverte : \exercise{module=H4/analysis/oeffonctgen.fr&cmd=new&exo=corrdomain}{Correspondance} \section[Exemples]{Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction} Voici quelques aides pour déterminer l'ensemble de définition d'une fonction.\subsection{Intervalles} %TODO ajouter des exercices de Fabrice : %\url{https://wims.di.u-psud.fr/wims/wims.cgi?module=H4/algebra/OEFevalwims} Les ensembles de définition sont souvent des intervalles ou des réunions d'intervalles. L'écriture des réunions d'intervalles obéit à quelques règles simples. Elles sont explicitées dans l'aide de l'exercice 2 de cette page par son auteur Véronique Royer. Nous les rappelons ici. \begin{enumerate} \item Les intervalles doivent être maximaux. \item Les intervalles doivent être deux à deux disjoints. \item Leur écriture doit suivre l'ordre des réels. \end{enumerate} \begin{ex} L'écriture attendue de $E = \RR^{*}$ est $E = ]-\infty , 0[ \cup ]0,+\infty[$. \begin{itemize} \item On pourrait écrire : $E = ]-\infty , 6[ \cup [6,0[ \cup ]0,+\infty[$ mais dans cette écriture les intervalles ne sont pas tous maximaux. \item On a également : $E = ]-\infty , 7] \cup [6,0[ \cup ]0,+\infty[$ mais avec cette écriture les intervalles ne sont pas tous deux à deux disjoints. \item Dans l'égalité : $E = ]0,+\infty[ \cup ]-\infty , 0[$, l'écriture ne reflète pas l'ordre des réels (par convention on écrit les plus petits nombres à gauche des plus grands). \end{itemize} \end{ex} Pour réviser : \begin{itemize} \item \exercise{module=H4/algebra/oefordrevabs.fr&exo=encadinter&cmd=new}{Ecriture des intervalles (1)} \item \exercise{module=H6/analysis/ensDefinition.fr niv=1&cls=S&max=2&mode=0}{Ecriture des intervalles (2)} \end{itemize} \subsection{Fonction affine} Une fonction affine est définie pour tout réel. Son ensemble de définition est $\mathbb{R}$. %\begin{latexonly} \begin{ex} La fonction \(f\) de la variable réelle \(x\) définie par \(f(x)=5 x + 3\) a pour ensemble de définition $\mathbb{R}$. \end{ex} %\end{latexonly} Pour s'entraîner : \exercise{module=H4/analysis/oeffonctgen.fr&cmd=new&exo=affine3}{Ensemble de définition d'une fonction affine} \subsection{Fonction trinôme} Une fonction trinôme est définie pour tout réel. Son ensemble de définition est $\mathbb{R}$. \begin{ex} La fonction \(g\) de la variable réelle \(x\) définie par \(g(x)= -x^2 +5 x - 7\) a pour ensemble de définition $\mathbb{R}$. \end{ex} \subsection{Fonction quotient} Si la formule qui permet de calculer l'image \(f(x)\) du réel \(x\) contient un quotient, on doit exclure de l'ensemble de définition \(D f\) les valeurs qui annulent le dénominateur de ce quotient. En effet, le quotient par zéro n'est pas défini. \begin{latexonly} \begin{ex} Soit \(f\) la fonction de la variable réelle \(x\) définie par \(f(x)=\frac{1}{x}\). L'image \(f(x)\) existe sauf pour \(x=0\). L'ensemble de définition de \(f\) est \(\RR\) privé de \(0\), noté \(\RR^{*}\). \end{ex} \begin{ex} Soit \(g\) la fonction de la variable réelle \(x\) définie par \(\displaystyle{g(x)=\frac{2x}{3x-4}}\). L'image \(g(x)\) existe sauf pour \(x=\frac{4}{3}\). L'ensemble de définition de la fonction \(g\) est \(\RR\) privé de \(\frac{4}{3}\). On a donc : \(Dg=]-\infty, \frac{4}{3}[\cup ]\frac{4}{3},+\infty[\). \end{ex} \end{latexonly} \begin{wimsonly} \begin{ex} \begin{wims} \def{integer a=randint(2..10)} \def{integer b=randint(-10..10)} \def{integer c=random(1..3)} \def{integer d=random(random(-5..-1),random(1..5))} \def{integer dd=\d*\c} \if{\d=\b/\a}{\def{integer b=\b+1}} \def{function f=simplify((\a*x + \b)/(\c*x+\dd))} \def{text g=texmath(\f)} \def{text denom=simplify(\c*x+\dd)} \def{integer s=-\d} \end{wims}
Soit \(f\) la fonction de la variable réelle \(x\) définie par \(f(x) = \f \).
Elle est définie quand son dénominateur \(\denom\) n'est pas nul, c'est-à-dire pour tous les \(x\) différents de \(\s\) et seulement ceux-là. L'ensemble de définition de la fonction \(f\) est
\(D f=]-\infty,\s[\)\(\cup\) \(]\s,+\infty[\)
\reload{Renouveler l'exemple} \end{ex} \end{wimsonly} Pour s'entraîner : \begin{itemize} \item \exercise{module=H4/analysis/oeffonctgen.fr&cmd=new&exo=quotient1}{Ensemble de définition d'un quotient}, première étape. \item \exercise{module=H4/analysis/oeffonctgen.fr&cmd=new&exo=quotient2}{Ensemble de définition d'un quotient}, par étapes. \item \exercise{module=H4/analysis/oeffonctgen.fr&cmd=new&exo=quotient3}{Ensemble de définition d'un quotient}, sans étape intermédiaire. \end{itemize} \subsection{Fonction racine carrée} Si la formule qui permet de calculer l'image \(f(x)\) du réel \(x\) contient une racine carrée, l'ensemble de définition \(D f\) ne contient que les valeurs pour lesquelles la quantité sous la racine carrée est positive ou nulle. En effet, la racine carrée d'un nombre négatif n'est pas définie. \begin{latexonly} \begin{ex} Soit \(f\) la fonction de la variable \(x\) définie par \(f(x)=\sqrt{-2x+4}\). L'image \(f(x)\) existe pour \(x\leq 2\) et seulement dans ce cas. L'ensemble de définition de \(f\) est \(D f=]-\infty, 2]\). \end{ex} \end{latexonly} \begin{wimsonly} \begin{ex} \begin{wims} \def{integer a=randint(2..10)} \def{integer b=randint(2..5)} \def{integer c=random(-1,1)} \def{integer d=random(-1,1)} \def{integer bb=\d*\b*\a} \def{integer bbb=-\bb} \def{integer a=\c*\a} \def {function f=sqrt(\a*x + \bb)} \def{integer sol=-\d*\c*\b} \def{function g=simplify(\a*x + \bb)} \def{text gg=texmath(\g)} \def{text ax=texmath(\a*x)} \def{text signe=\c=1? positif:négatif} \def{text angle=\c=1? geq:leq} \def{text dessin = xrange -7.2,7.2 yrange -7.2,7.2 parallel -7,-7,7,-7,0,1,16, grey parallel -7,-7,-7,7,1,0,16, grey hline 0,0,black arrow 0,0,1,0,8, black arrow 0,0,0,1,8, black vline 0,0,black fcircle \sol,0,6,green linewidth 2 plot blue, \g line \sol,0, \c*7.2, 0,green } \end{wims}Soit \(f\) une fonction de la variable réelle \(x\) définie par \(f(x) = \f \).
La fonction est définie pour tous les \(x\) tels que \(\g\) est positif ou nul et seulement pour ceux-ci.
La quantité \(\g\) est positive ou nulle si et seulement si \(\a*x\) est supérieur ou égal à \(-\bb\).
Comme le coefficient de \(x\) est \signe, cette inégalité est équivalente à \(x \\angle \sol\).
\(\gg \geq 0 \iff \ax \geq \bbb \iff x \\angle \sol\)
Sur la figure, on a tracé le graphe de la fonction \(g\) définie de \(\RR\) dans \(\RR\) par \(g(x)=\g\). L'ensemble des \(x\) tels que \(\g\) est positif ou nul est représenté en vert.
\draw{ 200,200 }{ \dessin }
\reload{Renouveler l'exemple} \end{ex} \end{wimsonly} Pour s'entraîner : \exercise{module=H4/analysis/oeffonctgen.fr&cmd=new&exo=racine}{Ensemble de définition d'une racine carrée} \end{document}