Résolution d'équations

I Égalité
II Équation
III Problème

Sur la résolution des équations de base

I Égalité

II Équation

III Problème

I Égalité

I Égalité
II Équation
III Problème

Définition [Égalité]

Une égalité est une phrase mathématique dans laquelle il y a un signe égal. Cette égalité peut être vraie ou fausse.

Exemple

Soit t la taille du professeur. L'égalité t=184 cm est vraie !
Soit m la masse du professeur. L'égalité m=24 kg est (heureusement) fausse.

Une égalité peut être écrite avec un nombre inconnu, le plus souvent désigné par une lettre, par exemple 8x+48=11x. Tester l'égalité, c'est regarder si l'égalité est vraie pour une valeur particulière donnée à x.

Exemple [ ]

Gardons l'équation ci-dessus : 8x+48=11x. L'égalité est-elle vraie si x=12 ? si x=16 ?

Quand x=12, on donne 12 comme valeur particulière de x dans l'égalité précédente. On calcule séparément la valeur des membres de gauche et de droite de l'égalité avec cette valeur particulière.
, soit 144 et pour l'autre membre, soit 132. Les nombres 144 et 132 ne sont pas égaux donc l'égalité est fausse pour x=12. On dit aussi que 12 n'est pas solution de l'équation.
Faisons le même travail pour x=16.
Pour le membre de gauche : soit 176. Et pour l'autre membre, soit 176. Quand x=16, les deux membres sont égaux ; on dit que 16 est solution de l'équation. Mais qu'est-ce qu'une équation ?

Résolution d'équations → I Égalité

Définition [Équation]

Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu désigné par une lettre.

Définition [Résoudre une équation]

Résoudre une équation, c'est déterminer la valeur (ou les valeurs) que doit prendre cette inconnue pour que l'égalité soit vérifiée.

Exercice

[ ] Quelles valeurs peut-on donner à x pour que l'équation soit vraie ?
[ ] Quelles valeurs peut-on donner à x pour que l'équation soit vraie ?

Solution

On peut donner n'importe quelle valeur, il y a une infinité de solution. Plus tard dans la scolarité, on verra d'autres équations qui ont 2, 3 ... solutions.
Il n'y a pas de solution !

On une équation comme le montre les exemples suivants, en retenant les règles générales ci-après :

Proposition

On ne change pas les solutions d'une équation quand :

On additionne un même nombre à ses deux membres ;
On soustrait un même nombre à ses deux membres ;
On multiplie par un même nombre non nul les deux membres de l'équation ;
On divise par un même nombre non nul les deux membres de l'équation ;

II-1 Premier exemple

II-2 Deuxième exemple

II-3 Troisième exemple

II-4 Quatrième exemple

Résolution d'équations → II Équation

II-1 Premier exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation v-8=20, on procède ainsi :

La solution de l'équation est v=28.

Résolution d'équations → II Équation → II-1 Premier exemple

II-2 Deuxième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation g+6=6, on procède ainsi :

La solution de l'équation est g=0.

Résolution d'équations → II Équation → II-2 Deuxième exemple

II-3 Troisième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation 5r=57, on procède ainsi :

La solution de l'équation est r=11,4.

Résolution d'équations → II Équation → II-3 Troisième exemple

II-4 Quatrième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation , on procède ainsi :

La solution de l'équation est q=66.

Résolution d'équations → II Équation → II-4 Quatrième exemple

III Problème

I Égalité
II Équation
III Problème

Il y a trois étapes à respecter pour la rédaction des résolutions des problèmes :

Si elle n'est pas imposée par l'énoncé, le choix de l'inconnue. Généralement, soit q ce que l'on cherche.
Mise en équation du problème et sa résolution.
Conclusion par une phrase au problème posé.

Exercice

Le père d'Augustin a six fois l'âge de son fils et si l'on ajoute 2 à la somme de leur âge, on trouve un 65.

Solution

Choix de l'inconnue Soit q l'âge d'Augustin.
- Mise en équation Le père d'Augustin a six fois son âge, donc son âge est de : 6q ;
  La somme de leur âge est donc de 6q+q=7q.
  Si on ajoute 2 à la somme de leur âge, on trouve 65, d'où l'équation 7q+2=65
- Résolution
Augustin a donc 9 ans. (Bonus : son père a 54 ans !)

Résolution d'équations → III Problème

document sur la signification d'une équation et sur sa résolution (niveau élémentaire).
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