OEF Définition d'espaces vectoriels --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 13 exercices sur la définition d'un espace vectoriel. Différentes structures sont proposées ; à vous de déterminer s'il s'agit réellement d'un espace vectoriel.

Voir aussi les collections d'exercices les espaces vectoriels en général ou la définition de sous-espace vectoriel.

Cercles

Soit l'ensemble des cercles dans le plan (cartésien), avec des règles d'addition et de multiplication par un scalaire comme suit.

Si (resp. ) est un cercle de centre (resp. ) et de rayon , sera le cercle de centre et de rayon .
Si est un cercle de centre et de rayon , et si est un nombre réel, alors est un cercle de centre et de rayon .

L'ensemble avec l'addition et la multiplication par un scalaire définies ci-dessus est-il un espace vectoriel sur le corps de nombres réels ?

Espace d'applications

Soit l'ensemble des applications

(i.e., de l'ensemble des vers l'ensemble des ) avec les règles de l'addition et la multiplication par un scalaire comme suit :

Si et sont deux applications dans , est l'application telle que pour tout appartenant à .
Si est une application dans et si est un nombre réel, est l'application de vers telle que pour tout appartenant à .

L'ensemble muni des règles ci-dessus est-il un espace vectoriel sur ?

Valeur absolue

Soit l'ensemble des couples de nombres réels. On définit l'addition et la multiplication par un scalaire sur comme suit :

Pour tous et appartenant à , on définit .
Pour tout appartenant à et tout nombre réel , on définit .

L'ensemble muni des règles ci-dessus est-il un espace vectoriel sur ?

Droite affine

Soit une droite dans le plan cartésien, définie par une équation , et soit un point fixe sur .

Nous prenons l'ensemble des points sur . Sur , nous définissons l'addition et la multiplication par un scalaire comme suit.

Si et sont deux éléments de , on définit .
Si est un élément de et si est un nombre réel, on définit .

L'ensemble muni des règles ci-dessus est un espace vectoriel sur ?

Addition alternée

Soit l'ensemble des couples de nombres réels. On définit l'addition et la multiplication par un scalaire sur comme suit :

Pour tous et appartenant à ,
Pour tout appartenant à et tout nombre réel , .

L'ensemble muni des règles ci-dessus est-il un espace vectoriel sur ?

Corps

L'ensemble des , muni de l'addition et la multiplication habituelle, est-il un espace vectoriel sur le corps des ?

Matrices

Soit l'ensemble des matrices réelles . Sur , on définit la multiplication par un scalaire comme suit.

Si est une matrice dans et si est un nombre réel, le produit de par le scalaire est définie comme étant la matrice , où .

L'ensemble muni de l'addition habituelle des matrices et de cette multiplication scalaire est-il un espace vectoriel sur ?

Matrices II

L'ensemble des matrices à coefficients et de taille , muni de l'addition et la multiplication scalaire habituelles, est-il un espace vectoriel sur le corps des ?

Multiplier/diviser

Soit l'ensemble de couples de nombres réels. On définit l'addition et la multiplication par un scalaire sur comme suit :

Pour tous et appartenant à , on définit .
Pour tout appartenant à et tout nombre réel , on définit si n'est pas nul, et .

L'ensemble muni des règles ci-dessus est-il un espace vectoriel sur ?

Nombres non nuls

Soit l'ensemble des nombres réels . On définit l'addition et la multiplication par un scalaire sur comme suit :

Si et sont deux éléments de , la somme dans de et est définie comme étant .
Si est un élément de et si est un nombre réel, le produit de par le scalaire est définie comme étant .

Est-ce que muni des règles ci-dessus est un espace vectoriel sur ?

Transaffine

Soit l'ensemble des couples de nombres réels. On définit l'addition et la multiplication par un scalaire sur comme suit :

Si et sont deux éléments de , leur somme dans est définie comme étant le couple .
Si est un élément de , et si est un nombre réel, le produit de par le scalaire dans est définie comme étant le couple .

L'ensemble muni des règles ci-dessus est-il un espace vectoriel sur ?

Transcarré

Soit l'ensemble des couples de nombres réels. On définit l'addition et la multiplication par un scalaire sur comme suit :

Pour tous et appartenant à ,
Pour tout appartenant à et tout nombre réel , .

L'ensemble muni des règles ci-dessus est-il un espace vectoriel sur ?

Cercle de l'unité

Soit l'ensemble des points sur le cercle d'équation dans le plan cartésien. Pour tout point dans , il y a un nombre réel tel que , .

On définit l'addition et la multiplication par un scalaire sur comme suit :

Si et sont deux points dans , leur somme est définie comme étant .
Si est un point dans et si est un nombre réel, le produit de par le scalaire est définie comme étant .

Est-ce que muni des règles ci-dessus est un espace vectoriel sur ? The most recent version

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Description: collection d'exercices sur la définition d'un espace vectoriel. Serveur d'exercices interactifs
Keywords: Exercices interactifs Mathématiques, algebra, linear_algebra, vector_space