OEF Développements limités et Taylor
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 20 exercices sur les développements
limités des fonctions à une variable réelle.
DL-ordre
Soient
et
deux fonctions admettant les développements limités suivants en 0 :
=
+ ,
=
+ A quel ordre peut-on calculer le développement limité de
en 0 ? Répondre non si cela n'est pas possible.
DL-ordre+
Soient
et
deux fonctions admettant les développements limités suivants en 0 :
= + ,
= + A quel ordre peut-on calculer le développement limité de
en 0 ?
DL-ordrex
Soient
et
deux fonctions admettant les développements limités suivants en 0 :
= + ,
= + A quel ordre peut-on calculer le développement limité de
en 0 ? Répondre non si cela n'est pas possible.
DL-ordre-compos0
Soient
et
deux fonctions admettant les développements limités suivants respectivement en et en :
Peut-on calculer un développement limité de
en ?
DL-ordre-compos*
Soient
et
deux fonctions admettant les développements limités suivants respectivement en et en :
A quel ordre peut-on calculer le développement limité de
en ? Répondre -1 si les renseignements fournis ne sont pas suffisants pour pouvoir calculer un développement limité en .
Dérivée I
Nous avons une fonction
dérivable d'ordre 3 et ayant un développement limité
= au voisinage de . Que vaut la dérivée d'ordre de
au point ?
Dérivée II
Soit une fonction sur 
, et supposons qu'on peut écrire
= . On peut en déduire que est dérivable en un certain point
. Donner la valeur de
et celle de (
) .
Développements limités et notations 1
Soit f une fonction réelle définie au voisinage de 0 qui s'écrit
dans ce voisinage. De quel ordre est le développement limité de f au voisinage de l'origine ?
Développements limités et notations II
Soit
une fonction réelle définie au voisinage de 0 qui s'écrit, dans ce voisinage,
.
L'assertion suivante est-elle vraie ?
Estimation d'erreur I
Soit une fonction
dérivable à l'ordre 4 dans l'intervalle [,] et admettant le développement limité
= au voisinage de 0. On suppose que
sur [,]. Calculer l'erreur maximale obtenue en remplaçant
par sur [,].
Estimation d'erreur II
Soit une fonction
dérivable à l'ordre dans l'intervalle [,] et admettant le développement limité suivant
= au voisinage de . On suppose que
sur cet intervalle, quelle est l'erreur maximale faite en remplaçant
par
sur [,] ?
Estimation d'erreur III
Soit une fonction
dérivable à l'ordre 4 sur et admettant le développement limité suivant
= au voisinage de 0. On suppose que
. On veut remplacer
par sur un intervalle
sans introduire une erreur supérieure à . Quelle est la valeur maximale de
possible ?
Tableau 2
Soit une fonction réelle, dérivable d'ordre 3 sur , avec le tableau de dérivées suivant : Quelle est la partie principale du développement limité de d'ordre 2 au voisinage de , c'est-à-dire le polynôme P(x) dans le développement limité
(x) = P(x) + o(()2) ?
Tableau 3
Soit une fonction réelle, dérivable d'ordre 3 sur , avec le tableau de dérivées suivant : Quelle est la partie principale du développement limité de d'ordre 3 au voisinage de , c'est-à-dire le polynôme P(x) dans le développement limité
(x) = P(x) + o(()3) ?
Tangente
La fonction admet au voisinage de le développement limité (x) = Soit la tangente au graphe de au point (, ()). Quelle est la position du graphe de par rapport à au voisinage de ?
- est au-dessous de .
- est au-dessus de .
- est au-dessous de à gauche (quand
< ), et au-dessus de à droite (quand
> ).
- est au-dessus de à gauche, et au-dessous de à droite.
Formule de Taylor 2
Soit
une fonction
sur
à valeurs réelles.
Ecrire la formule de Taylor- à l'ordre 2 au point
(si besoin,
est un point convenable tel que
,
est une fonction tendant vers 0 lorsque
tend vers ):
Pour donner la réponse, ne pas faire preuve d'originalité et écrire les termes dans l'ordre standard !
En effet la formule de Taylor- à l'ordre 2 au point
s'écrit
avec
une fonction tendant vers 0 lorsque
tend vers
avec
un réel entre
et
. Soit
la fonction affine définie par
. On suppose que
pour tout
vérifiant
.
Avec ces renseignements, la formule de Taylor écrite est-elle utilisable pour donner une majoration de
pour
? Si oui, donner la meilleure majoration possible à partir des données. Sinon, répondre non
Valeur
Soit une fonction définie sur et supposons qu'on peut écrire
= . On peut en déduire la valeur de en un certain point
. Donnez la valeur de
et celle de
.
Valeur II
Soit une fonction réelle, et supposons qu'on peut écrire (x) = . On peut en déduire que est dérivable en un certain point
. Donnez la valeur de
, et celle de
.
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- Description: collection d'exercices sur les développements limités ou asymptotiques des fonctions réelles et leurs applications. Serveur d'exercices interactifs
- Keywords: Exercices interactifs Mathématiques, analysis, calculus,, taylor_series,functions,taylor_expansion,derivative,integral,tangent