Ce module regroupe pour l'instant 10 exercices sur les formes bilinéaires et formes quadratiques.
Base de vecteurs propres
Soit
la forme quadratique définie, pour
, par
.
.
Entrer la matrice ligne par ligne, les coefficients d'une même ligne sont séparés par des virgules.
La matrice de
dans la base canonique est bien
.
.
Les valeurs propres de la matrice
sont bien
. .
Entrer en colonne les composantes des vecteurs de la base, séparées par des virgules.
Formes bilinéaires
Soit
l'application définie par
.
avec
et
.
.
Formes bilinéaires, formes quadratiques
Soit
la forme quadratique suivante :
.
Déterminer parmi les choix suivants l'unique forme bilinéaire symétrique
telle que
pour tout
dans
.
A :
B :
C :
Formes bilinéaires et matrices
Pour rentrer la matrice, écrire les coefficients ligne par ligne : les coefficients d'une même ligne sont séparés par des virgules.
Invariants d'une conique
Soit la conique
.
Soit
.
La forme quadratique
est-elle
ou
?
Déterminer le centre
de la conique et le réel
tel que
Ainsi dans le repère affine dont l'origine est le centre ( , ) de la conique, la conique a comme équation
Déterminer la signature de
.
Une des valeurs propres de
est 0. Calculer la seconde valeur propre et donner une base de vecteurs propres
vérifiant les conditions suivantes :
est un vecteur propre unitaire pour la valeur propre 0 dont la première composante est positive
forment une base orthonormée.
Soient
les coordonnées dans la base ( , ). Déterminer
et
pour que
.
La conique
a comme équation
.
Quelle est la nature de la conique
?
Formes quadratiques équivalentes
Soit
la forme quadratique définie, pour
, par
.
Indiquer laquelle des formes quadratiques suivantes est équivalente à
Rang d'une forme quadratique
Soit
, la forme quadratique définie pour
par
.
et
.
Voici la matrice de
sous forme utilisable dans les outils : .
Réduction de Gauss
Soit
la forme quadratique définie pour
par
.
Déterminer une décomposition de Gauss de
.
Signature d'une forme quadratique
Soit
, la forme quadratique définie pour
par
.
Déterminer les valeurs propres de la matrice
associée à
.
Calculer sa signature de Q.
Voici la matrice de
sous forme utilisable dans les outils :
Signature et rang
Soit
une forme quadratique sur
.
et
.
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Description: collection d'exercices sur les formes bilinéaires et formes quadratiques. Serveur d'exercices interactifs