OEF Fonctions de plusieurs variables
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 13 exercices sur
les fonctions de plusieurs variables.
Approximation linéaire
Soit
la fonction de
dans
définie par
.
Donner l'approximation linéaire de
au point
. Si elle n'existe pas, répondre non.
Approximation linéaire 2
Soit
la fonction de
dans
définie par
.
Donner l'approximation linéaire de
au point
.
Champ scalaire 2D
Soit le champ scalaire donnant en un point
de
donné par
.
Calculer au point ( , ).
Donner l'équation de la courbe de niveau de constante
La région du plan où est est
Dérivées directionnelles
Soit
une fonction
de
dans
et
et
deux vecteurs de
définis par
.
Connaissant les dérivées partielles
et
de
dans les deux directions
et
au point
, peut-on calculer la dérivée partielle de
en
dans n'importe quelle direction?
Soit
le vecteur défini par
. Calculer la dérivée de
dans la direction de
, sachant que l'on a :
avec
,
.
En effet, ce n'est possible car les vecteurs
et
sont liés.
Est-il possible d'avoir
,
avec
?
Composition I, dérivées partielles
Soit
une fonction de deux variables
et
de
dans
et
la fonction de
dans
définie par
.
Calculer la dérivée partielle de
selon
.
(x,y)=
(
,
) +
(
,
)
Dérivées partielles 1
Calculer les dérivées partielles de la fonction définie par
.
Dérivées partielles 2
Calculer
pour la fonction
définie par
.
Composition II Dérivées partielles
Soit
une fonction de deux variables
et
de
dans
et
la fonction de
dans
définie par
.
Calculer la dérivée seconde de
selon
.
=
(
,
) +
+
+
+
= (
)
+
(
,
)
+ (
)
+ (
)
+
=
+ (
)
+
(
,
) + (
)
+
Formule de Taylor (1)
Soit
une fonction
sur
à valeurs réelles.
Ecrire la formule de Taylor- à l'ordre 1 au point
. Si besoin,
est un point convenable tel que
,
,
est une fonction tendant vers 0 lorsque
tend vers et
tend vers .
Pour donner la réponse, ne pas faire preuve d'originalité et écrire les termes dans l'ordre standard !
En effet la formule de Taylor- à l'ordre 1 au point
s'écrit
avec
une fonction tendant vers 0 lorsque
tend vers et
tend vers
où
est un point convenable vérifiant
,
On suppose que
pour tout
vérifiant
,
. Avec ces renseignements, la formule de Taylor écrite est-elle utilisable pour donner une majoration de
pour
,
? Si oui, donner la meilleure majoration possible à partir des données. Sinon, répondre non
Formule de Taylor (2)
Soit
une fonction
sur
à valeurs réelles.
Ecrire la formule de Taylor- à l'ordre 2 au point
(si besoin,
est un point convenable tel que
,
,
est une fonction tendant vers 0 lorsque
tend vers et
tend vers ) :
Pour donner la réponse, ne pas faire preuve d'originalité et écrire les termes dans l'ordre standard !
En effet la formule de Taylor- à l'ordre 2 au point
s'écrit
avec
une fonction tendant vers 0 lorsque
tend vers et
tend vers
où
est un point convenable vérifiant
,
Soit
la fonction affine définie par
On suppose que
pour tout
vérifiant
,
. Avec ces renseignements, la formule de Taylor écrite est-elle utilisable pour donner une majoration de
pour
,
? Si oui, donner la meilleure majoration possible à partir des données. Sinon, répondre non.
Variation d'une boîte II
La largeur
, la longueur
et la hauteur
d'une boîte varient dans le temps. A un moment donné, les dimensions sont
,
et
et la largeur
à raison de
, la longueur
à raison de
et la hauteur
à raison de
. Déterminer la vitesse d'augmentation à cet instant.
On donnera l'unité.
Variation d'une boîte II
La largeur
, la longueur
et la hauteur
d'une boîte varient dans le temps. A un moment donné, les dimensions sont
,
et
et la largeur
à raison de
, la longueur
à raison de
et la hauteur
à raison de
. Déterminer la vitesse d'augmentation à cet instant.
On donnera l'unité.
Variation de résistances I
Dans un circuit électrique, trois résistances
,
et
sont en parallèle. Les trois résistances varient en fonction du temps. A un moment donné
, elles valent
ohms,
ohms et
ohms. Soit
la fonction donnant la résistance équivalente en fonction du temps.
Donner l'expression de la dérivée de
en
=
+
+
On a
=
+
+
En
,
à raison de ohms/s,
à raison de ohms/s et
à raison de ohms/s. Calculer la vitesse d'augmentation de la résistance équivalente à cet instant. (Pour la vitesse, on donnera l'unité.)
L'exercice a plusieurs étapes.
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- Description: collection d'exercices sur les fonctions de plusieurs variables. Serveur d'exercices interactifs
- Keywords: Exercices interactifs Mathématiques, analysis, calculus, multivariable_function,taylor_expansion, partial_derivative