Systèmes dynamiques
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 17 exercices sur les systèmes
dynamiques réels.
Evolution du capital
On dispose d'un compte d'épargne à un taux de %, avec une inflation de %.
L'évolution dans le temps du pouvoir d'achat est donnée par une application
.
Le graphe du pouvoir d'achat est représenté en rouge sur 50 ans. Au bout de combien de temps ? (cliquez sur l'axe du temps)
Dynamique symbolique I
(
, 
) est le système dynamique à 2 symboles où : -
, est l'ensemble des suites infinies
avec
égal à 0 ou 1.
-
est le décalage (vers la droite),
.
Parmi les éléments de
, notons ' l'ensemble des suites telles que si
, alors
,
Combien y-a-t-il de points fixes de
dans
?
Donner le point fixe :
Combien y-a-t-il des points de période exactement 2 de
dans
?
Donner les deux points de période 2 :
Combien y-a-t-il des points de période exactement 3 de
dans
?
Donner les trois points de période 3 :
On écrit un point de période
sous la forme
.
Par exemple,
représente la suite (1,1,1,1,...),
représente la suite (1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0...).
Dynamique symbolique II
(
, ) est le système dynamique à 2 symboles où : -
, est l'ensemble des suites infinies
avec
égal à 0 ou 1.
-
est le décalage (vers la droite),
.
Parmi les éléments de
, notons ' l'ensemble des suites telles que si
, alors
.
Combien y-a-t-il de points fixes de
dans
?
Donner le point fixe :
Combien y-a-t-il de points de période exactement 2 de
dans
?
Donner les deux points de période 2 :
Combien y-a-t-il de points de période exactement 3 de
dans
?
Donner les trois points de période 3 :
Combien y a-t-il de points fixés par
?
de points fixés par
?
Combien y a-t-il de points de période exactement 4 de ?
de période exactement de ?
On écrit un point de période
sous la forme
.
Par exemple,
représente la suite (1,1,1,1,...),
représente la suite (1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0...).
Points fixes
Soit
une application de l'intervalle. Les graphes de
(gauche) et de
(droite) sont représentés en rouge. ![]()
![]()
Combien de points fixes
a-t-elle ?
L'application
n'a pas de points fixes.
a
point fixe.
points fixes.
Parmi eux, combien de points sont-ils attractifs ?
Aucun de ces points n'est attractif.
Exactement, parmi ces points
est attractif.
sont attractifs.
Combien de points périodiques de période exactement 2
a-t-elle ?
Aucun de ces points n'est périodique de période exactement 2.
L'application
if{a exactement }
point périodique.
points périodiques.
de période exactement 2.
Combien de points périodiques de période exactement 2
a-t-elle ?
L'application
n'a pas de points périodiques de période exactement 2.
a exactement
point périodique
points périodiques
de période exactement 2.
Parmi eux, combien de points sont-ils attractifs ?
Parmi eux, combien de points sont-ils attractifs ?
Famille polynômiale en degré 3
Soit
l'application de
dans
définie par
Quels sont les points fixes de
Les points fixes de
sont .
Que vaut
aux points fixes dans 
:
,
,
Parmi tous les points fixes, lesquels sont attractifs ?
Parmi tous les points, lesquels sont répulsifs ?
On recherche des points périodiques de période 2 ; en particulier quels sont les points
non nuls tels que
?
Parmi les points suivants (périodiques de période 2), lesquels sont répulsifs ?
Ecrire ø pour l'ensemble vide.
Ecrire , pour les infinis.
Portrait de phase
Soit
une application de l'intervalle. Son graphe est représenté en rouge. ![]()
Pour un
, quelle est l'écriture de
?
Quelle est la valeur du paramètre
pour laquelle
?
La transformation
identifie l'intervalle
au cercle et l'application
à un homéomorphisme du cercle.
Quel est le portrait de phase de cet homéomorphisme ?
Point fixe attractif
Soit
une application de l'intervalle (graphe rouge). Indiquez le point fixe attractif en cliquant sur le graphe.
Famille quadratique I
Soit
l'application de
dans
donnée par
.
Les points fixes de
sont
Pour chacun des points fixes, donner la dérivée de
en ce point et dire s'il est attractif ou répulsif :
| point | dérivée | attractif/répulsif |
|---|
| 0 |
|
|
|---|
|
|
|
|---|
Famille quadratique II
Soit
l'application de I =
dans
donnée par
.
Certains points de l'intervalle I s'en échappent après itérations de
. L'ensemble des points de
qui s'échappent en
au plus
exactement
itération
itérations
est composé de
intervalles.
Certains points de I s'échappent de
après itérations de
. L'ensemble des points de
qui s'échappent en
au plus
exactement
itérations est composé de intervalles.
Parmi ces intervalles, donner celui qui est le plus proche de :
,
L'application quadratique 4x(1-x)
Soit l'application de
lines black, 0,0,1,1
On code l'itinéraire d'un point
de
différent de
sous l'action de
pour
pour
,
pour
Pour
, on lui associe une adresse au temps
1. Quelle est l'adresse de
au temps
?
Quels sont les points périodiques de
de période
au plus
exactement
Donner les adresses des points périodiques
de période
au plus
exactement
au temps :
Rotations
Soit
la rotation du cercle d'angle
, où
.
L'application
est-elle périodique ?
Quelle est la période de
?
Indiquez la représentation correcte de la dynamique sur l'orbite périodique de
Application standard avec bruit I
L'application
de l'intervalle [ 0, 1 ] dans lui-même dont le graphe est représenté ci-dessous en rouge est de la forme
modulo 1
avec
(
, a) =
et
=
(, a) = (,) et
La transformation
identifie l'intervalle [ 0, 1] au cercle de centre
et de rayon
et l'application
à un homéomorphisme du cercle.
Parmi les points gris représentés sur le cercle, cliquer sur ceux appartenant à l'image par la transformation
de l'orbite de
sous
.
L'orbite de
sous
est
.
Application standard avec bruit II
L'application
de l'intervalle [ 0, 1 ] dans lui-même dont le graphe est représenté ci-dessous en rouge est de la forme
modulo 1
avec
(, a) =
et
=
(, a) = (,) et
La transformation
identifie l'intervalle [ 0, 1] au cercle de centre
et de rayon
et l'application
à un homéomorphisme du cercle.
Parmi les points gris représentés sur le cercle, cliquer sur ceux appartenant à l'image par la transformation
de l'orbite de
sous
.
L'orbite de
sous
est
.
L'application tente
Soit I l'intervalle
= [0, 1]. Soit l'application de
dans
dont le graphe est représenté en rouge.
lines black,0,0,1,1
On code l'itinéraire d'un point
de
différent de
sous l'action de
pour
pour
,
pour
Pour
, on lui associe une adresse au temps
Quelle est l'adresse de
au temps
?
Quels sont les points périodiques de
de période exactement
?
3. - Donner les adresses au temps des points périodiques de
de période exactement
| |
|
Trajectoires
Soit
la rotation du cercle d'angle
. On représente la dynamique sur l'orbite périodique de
pour plusieurs valeurs de
. Identifiez les correspondances entre ces valeurs de
et les trajectoires de
.
Types de point fixe
Soit
,
une application qui définit un système dynamique sur
, où
. Son graphe est tracé en rouge sur l'intervalle
. ![]()
Indiquez les points fixes de
dans
est un point fixe
est un point fixe
Le bassin d'attraction du point fixe est
Applications unimodales
Soit
une application de l'intervalle (graphe rouge).
![]()
![]()
![]()
Ecrire les abscisses (à
près) des points fixes de
La droite tracée en vert est la tangente de
au point fixe . Indiquez le type du point fixe :
En utilisant éventuellement l'orbite critique (tracée en bleu), identifiez le graphe de l'application
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- Description: collection d'exercices sur les systèmes dynamiques réels en dimension 1. Serveur d'exercices interactifs
- Keywords: Exercices interactifs Mathématiques, analysis, topology, dynamique réelle, point périodique, periodicité, dynamic_system